संघ लोकसेवा आयोगाच्या सीसॅट पेपर २ मधील हा अत्यंत महत्त्वाचा घटक आहे. काही विद्यार्थ्यांना हा घटक अत्यंत अवघड जातो. मात्र, या उदाहरणांचा सराव केल्यास हे अत्यंत पटकन सोडवता येणारे, कमीत कमी आकडेमोड असणारे प्रश्न असतात. विद्यार्थ्यांनी याचा सराव करावा.
Combination (जुळवणी) म्हणजे वस्तू अथवा व्यक्तीचे गट तयार करण्याची प्रक्रिया अथवा निवड होय.
१) ११ खेळाडूंमधून ६ खेळाडूंची निवड करायची असेल तर ती निवड किती पद्धतींनी करता येईल?
१) ४४४ २) ४८६ ३) ४२६ ४) ४६२
स्पष्टीकरण : या ठिकाणी आपल्याला खेळाडूंची निवड करायची आहे. म्हणून Combination या पद्धतीचा वापर करावा.
वरील उदाहरणावरून n = 11 व r = 6
२) चित्रकलेच्या स्पध्रेसाठी उत्कृष्ट प्रकारचे चित्र काढणाऱ्या ८ मुलांच्या गटातून ५ मुलांची चित्रकलेच्या स्पध्रेसाठी निवड करायची आहे, तर अशी निवड किती पद्धतींनी करता येईल?
स्पष्टीकरण : या ठिकाणी आपल्याला उत्कृष्ट प्रकारचे चित्र काढणाऱ्यांची निवड करायची आहे. म्हणून Combination या पद्धतीचा वापर करावा.
वरील उदाहरणावरून n = 08 व r = 5
३) १० निळ्या व ८ पांढऱ्या चेंडूंमधून ५ निळे आणि ४ पांढरे चेंडू किती प्रकारे काढता येतील?
स्पष्टीकरण : १० निळ्या चेंडूंमधून ५ निळे चेंडू 10C5 इतक्या प्रकारे काढता येतील तसेच ८ पांढऱ्या चेंडूंमधून ४ पांढरे चेंडू 8C4 इतक्या प्रकारे काढता येतील,म्हणून
४) ६ विद्यार्थी व ५ विद्यार्थिनी यांच्या गटातून ५ सदस्यीय विद्यार्थी समिती स्थापन करायची आहे. ज्या कमिटीत ३ विद्यार्थी व २ विद्यार्थिनी असतील तर अशा किती पद्धतींनी विद्यार्थी समिती तयार करता येईल?
स्पष्टीकरण : ६ विद्यार्थ्यांमधून ३ विद्यार्थी 6C3 तसेच 5 विद्यार्थिनींपकी २ विद्यार्थिनी 5C2
म्हणून २०x१० = २०० पद्धतींनी समिती तयार करता येईल.
५) भारतीय संघासाठी ११ खेळाडूंमधून ६ खेळाडू निवडायचे आहेत, ज्यात महेंद्रसिंग धोनी, विराट कोहली, रोहित शर्मा या तीन खेळाडूंचे स्थान प्रत्येक संघात निश्चित आहे तर असे किती संघ तयार होतील?
1) 56 2) 128 3) 28 4) 14
स्पष्टीकरण : ११ खेळाडूंचा जो संघ तयार करायचा आह, त्यात ३ खेळाडूंचे स्थान निश्चित केलेले आहे. त्यातील फक्त ८ (११-३) खेळाडू शिल्लक राहिले, तसेच या तीन खेळाडूंचे स्थान निश्चित असल्याने ६ खेळाडूंपैकी फक्त आता ३ खेळाडू शिल्लक राहिले आहेत. म्हणून खालीलप्रकारे संघ तयार करता येतील 8C3
६) ६ बिंदुंपैकी ३ बिंदू सरळ नाहीत, तर अशा या ६ बिंदूंना जोडून किती सरळ रेषा तयार होतील?1) 5 2) 10 3) 15 4) 20
स्पष्टीकरण : या उदाहरणात ३ बिंदू सरळ रेषेत नाहीत, म्हणजे थोडक्यात २ बिंदू जोडूनच सरळ रेषा तयार करता येईल म्हणून सरळ रेषांची संख्या = 6C2
सरळ रेषा तयार होतील.महत्त्वाचे मुद्दे :
Factorial–झ्र् (मांडणी व जुळवणी या उपघटकांवर प्रश्न सोडवताना Factorial संकल्पना बऱ्याच वेळा येते. Factorial हे ! या चिन्हाने दर्शवितात,
n! = n x ( n-1) x ( n-2) x…. x 3 x 2 x1
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
महत्त्वाचे : 0! हा नेहमी 1 असतो थोडक्यात..
Permutation : Permutation म्हणजे अक्षरांची किंवा अंकांची मांडणी
सूत्र :
सरावासाठी उदाहरणे :
१)FATHER या शब्दातील सर्व अक्षरे एकदाच वापरून एकूण किती शब्द तयार होतील?
१) ७२० २) ८२० ३) ९२० ४) १०२०
स्पष्टीकरण :FATHER या शब्दात ६ अक्षरे आहेत. त्यांची मांडणी ६ ठिकाणी खालीलप्रमाणे करता येईल.
म्हणजे FATHER या शब्दापासून सर्व एकदाच वापरून ७२० तयार होतील.
२) एक चित्रपट पाहण्यासाठी ५ पाहुणे येणार आहेत, त्यांच्यासाठी ५ खुच्र्या ठेवल्या आहेत, तर ते पाहुणे त्या खुच्र्यावर किती प्रकारे बसू शकतील?
१) ३२० २) ४२० ३) २४० ४) १२०
स्पष्टीकरण : ५ पाहुणे ५ खुच्र्यावर खालील प्रकारे बसू शकतात.
३) GOPAL या शब्दातील सर्व अक्षरे एकदाच वापरून किती शब्द तयार होतील ?
१) ३०० २) ४२० ३) २४० ४) १२०
स्पष्टीकरण : GOPAL या शब्दात ५ अक्षरे म्हणून
४) POLICY या शब्दातील सर्व अक्षरे फक्त एकदाच वापरून, L ने सुरू होणारे किती शब्द तयार होतील?
१) १२२ २) १२१ ३) १२० ४) ७२०
स्पष्टीकरण : POLICY हा शब्द ६ अक्षरांपासून तयार झालेला आहे त्यापासून पहिले अक्षर L ने सुरू होणारे असावे म्हणजे त्याचे स्थान निश्चित झाले म्हणून आता उरलेल्या ५ ठिकाणी
५ अक्षरांची मांडणी करावयाची आहे,
ही मांडणी खालीलप्रमाणे करता येईल,
म्हणजे POLICY या शब्दातील सर्व अक्षरे एकदाच वापरून L या अक्षराने सुरुवात होणारे १२० शब्द तयार होतील.
५) POLICY या शब्दातील सर्व अक्षरे एकदाच वापरून असे किती शब्द तयार होतील की ज्या शब्दांच्या शेवटी P हे अक्षर असेल?
१) १२५ २) २४० ३) १२० ४) ६०
स्पष्टीकरण : POLICY हा शब्द ६ अक्षरांपासुन तयार झालेला आहे त्यापासून शेवटचे अक्षर Y असावे म्हणजे Y चे स्थान निश्चित झाले, म्हणून आता उरलेल्या ५ ठिकाणी ५ अक्षरांची मांडणी करायची आहे,
ही मांडणी खालीलप्रमाणे करता येईल,
म्हणजे POLICY या शब्दातील सर्व अक्षरे एकदाच वापरून Y हे अक्षर शेवटी असणारे १२० शब्द तयार होतील.
(मांडणी व जुळवणी) Permutation या प्रकारात काही उदाहरणे स्वर आणि व्यंजनाशी संबंधित असतात. ती उदाहरणे खालीलप्रमाणे सोडवावीत.
१) POLICY या शब्दातील सर्व अक्षरे फक्त एकदाच वापरून, असे किती ६ अक्षरी शब्द तयार होतील, की ज्यांची सुरुवात स्वराने झालेली असेल?
१) १२२ २) १२४ ३) १४४ ४) २४०
स्पष्टीकरण : इंग्रजीत A,E,I,O,U हे स्वर आहेत. यांपकी POLICY या शब्दात I व O हे स्वर आहेत, म्हणून त्यांची मांडणी खालील प्रकारे होऊ शकते-
आता I व O एक गट मानल्यास उरलेल्या ५ ठिकाणी अक्षरांची मांडणी
अशा प्रकारे करता येईल तसेच I व O या गटातील अक्षरांची मांडणी, एक तर O पहिल्या ठिकाणी व I दुसऱ्या ठिकाणी किंवा क पहिल्या ठिकाणी व ड दुसऱ्या ठिकाणी अशा प्रकारे म्हणजे
प्रकारे करता येईल, म्हणून स्वर पहिल्या ठिकाणी ठेवून POLICY या शब्दापासून 2 x 120 = 240 शब्द तयार होतील.
२) POLICY या शब्दातील सर्व अक्षरे फक्त एकदाच वापरून, असे किती ६ अक्षरी शब्द तयार होतील, की ज्यांच्यामध्ये व्यजंन हे एकत्र असतील?
१) १२२ २) १२४ ३) १४४ ४) २४०
स्पष्टीकरण : POLICY या शब्दात ४ व्यंजने आहेत, P,L,C,Y , या चार व्यंजनांचा एक गट मानल्यास, हा ४ अक्षरांपासून तयार झालेल्या व्यंजनांचा एक गट म्हणजे हे एक अक्षर मानले व उरलेले I व O ही २ अक्षरे म्हणजे ३ अक्षरांचा गट तयार होतो. त्यांची मांडणी खालीलप्रमाणे करता येते :
आता ४ व्यंजनांचा तयार केलेल्या गटातील अक्षरांची मांडणी
इतक्या प्रकारे करता येईल.
म्हणून शब्दातील अक्षरे एकदाच वापरून व्यंजने एकत्र असलेले
शब्द = 24x 6 = 144 इतके असतील.
३) POLICY या शब्दातील सर्व अक्षरे फक्त एकदाच वापरून, असे किती ६ अक्षरी शब्द तयार होतील, की ज्यामध्ये स्वर हे सम स्थानावर असतील?
१) १२२ २) १२४ ३) १४४ ४) २४०
स्पष्टीकरण : POLICY या शब्दात I व O हे स्वर आहेत,
या ६ अक्षरांच्या शब्दात आकृतीत दाखविल्याप्रमाणे फक्त ३ समस्थानके आहेत.
(२,४,६) व फक्त २ स्वर आहेत व उरलेले ४ शब्द हे व्यंजने आहेत. आता ३ समस्थानके २ स्वरांनी
जेव्हा आपण दोन स्वरांची समस्थानकांवर मांडणी करतो तेव्हा ४ स्थानके ही शिल्लक राहतात, म्हणजे आता ४ व्यंजने ४ ठिकाणी मांडणी खालील प्रकारे करता येईल-
म्हणून सर्व अक्षरे फक्त एकदाच वापरून, ६ अक्षरी एकूण शब्द
= 24x 6 = 144
४) २, ३, ४, ५, ६ या अंकांचा फक्त एकदाच वापर करून असे चार अंकी किती अंक तयार होतील?
१) १२० २) १३० ३) १४० ४) १२४
स्पष्टीकरण : दिलेले अंक २, ३, ४, ५, ६ असे असून यापासून चार अंकी अंक तयार करायचे आहे, म्हणजे थोडक्यात २३४५, ३४५६, ३२४५, ४५६२ इ.
म्हणून तयार होणारे अंक = ५ पैकी ४
